已知两点M(-1,0),N(1,0)且点P使MP•MN,PM•PN,NM•NP成等差数列.(1)若P点的轨迹曲线为C,求曲线C的方程;(2)从定点A(2,4)出发向曲线C引两条切线,求两切线方程和切点

题目简介

已知两点M(-1,0),N(1,0)且点P使MP•MN,PM•PN,NM•NP成等差数列.(1)若P点的轨迹曲线为C,求曲线C的方程;(2)从定点A(2,4)出发向曲线C引两条切线,求两切线方程和切点

题目详情

已知两点M(-1,0),N(1,0)且点P使
MP
MN
PM
PN
NM
NP
成等差数列.
(1)若P点的轨迹曲线为C,求曲线C的方程;
(2)从定点A(2,4)出发向曲线C引两条切线,求两切线方程和切点连线的直线方程.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设动点P(x,y),
PM
=-
MP
=(-1-x,-y),
PN
=-
NP
=(1-x,-y)

MN
=-
NM
=(2,0)
MP
MN
=2(1+x)

PM
PN
=x2+y2-1
NM
NP
=2(1-x)

于是由
MP
MN
+
NM
NP
=2
PM
PN
得:2(x2+y2-1)=2(1+x)+2(1-x),
化简得:x2+y2=3即为所求的轨迹方程;
(2)设切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,
|4-2k|
k2+1
=
3
⇒k=8±
51

所以切线方程为:y-4=(8±
51
)(x-2)

设M、N为对应切线的切点,则0A2=OM2+AM2,所以|AM|=
17

所以以A为圆心AM为半径作圆其方程为(x-2)2+(y-4)2=17,
则MN即为两圆的公共弦,
所以两圆方程相减得到公共弦MN方程为:2x+4y-3=0.

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