首页 > 已知数列{an}和{bn}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-2n3+49，{bn}的前n项和为Tn．（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；（Ⅱ）当λ=-12

已知数列{an}和{bn}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-2n3+49，{bn}的前n项和为Tn．（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；（Ⅱ）当λ=-12

题目简介

已知数列{an}和{bn}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-2n3+49，{bn}的前n项和为Tn．（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；（Ⅱ）当λ=-12

题目详情

已知数列 {an}和{bn}满足 a1=m，an+1=λan+n，bn=an-
2n
3
+
4
9
，{bn}的前n项和为Tn．
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；
（Ⅱ） 当λ=-
1
2
时，试判断{bn}是否为等比数列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤Tn≤2对任意的n∈N*恒成立，求实数m的范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）当m=1时，a1=1．a2=λ+1，a3=λ(λ+1)+2=λ2+λ+2…（2分）
假设{an}是等差数列，由a1+a3=2a2，得λ2+λ+3=2(λ+1)
即λ2-λ+1=0，△=-3＜0，方程无实根．
故对于任意的实数λ，
{an}一定不是等差数列…（5分）
（Ⅱ）当λ=-class="stub"1
2
时，an+1=-class="stub"1
2
an+n，bn=an-class="stub"2n
3
+class="stub"4
9
bn+1=an+1-
2(n+1)
3
+class="stub"4
9
=(-class="stub"1
2
an+n)-
2(n+1)
3
+class="stub"4
9
=-class="stub"1
2
an+class="stub"n
3
-class="stub"2
9

=-class="stub"1
2
(an-class="stub"2n
3
+class="stub"4
9
)=-class="stub"1
2
bn又b1=m-class="stub"2
3
+class="stub"4
9
=m-class="stub"2
9

∴当m≠class="stub"2
9
时，{bn}是以m-class="stub"2
9
为首项，-class="stub"1
2
为公比的等比数列…（9分）
当m=class="stub"2
9
时，{bn}不是等比数列…（10分）
（Ⅲ）当m=class="stub"2
9
，Tn=0，不成立…（11分）
当m≠class="stub"2
9
时Tn=class="stub"2
3
(m-class="stub"2
9
)[1-(-class="stub"1
2
)n]
当n为奇数时[1-(-class="stub"1
2
)n]∈(1，class="stub"3
2
]，
当n为偶数[1-(-class="stub"1
2
)n]∈[class="stub"3
4
，1)…（14分）
∵1≤Tn≤2对任意的n∈N*恒成立，
∴
class="stub"2
3
(m-class="stub"2
9
)×class="stub"3
2
≤2
class="stub"2
3
(m-class="stub"2
9
)×class="stub"3
4
≥1
解得m=class="stub"20
9

从而求得m=class="stub"20
9
…（16分）

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