已知函数f(x)=lnx的图象是曲线C,点An(an,f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点,曲线C在点An(an,f(an))处的切线与y轴交于点Bn(0,bn),若数列{bn}是公差为2的等

题目简介

已知函数f(x)=lnx的图象是曲线C,点An(an,f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点,曲线C在点An(an,f(an))处的切线与y轴交于点Bn(0,bn),若数列{bn}是公差为2的等

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已知函数f(x)=lnx的图象是曲线C,点An(an,f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点,曲线C在点An(an,f(an))处的切线与y轴交于点Bn(0,bn),若数列{bn}是公差为2的等差数列,且f(a1)=3.
(1)分别求出数列{an}与数列{bn}的通项公式;
(2)设O为坐标原点,Sn表示△AnBn的面积,求数列{Sn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:茂名一模

答案

(1)求导函数可得f′(x)=class="stub"1
x
,则曲线C在点An(an,f(an))处的切线方程为y-lnan=class="stub"1
an
(x-an)
令x=0,则y-lnan=-1,∴bn=lnan-1
∴bn+1-bn=lnan+1-1-lnan+1=2
an+1
an
=e2

∵f(a1)=3,
∴ln(a1)=3,
∴a1=e3,
∴an=e2n+1
∴bn=lnan-1=2n;
(2)Sn=class="stub"1
2
×bn×an=n×e2n+1
∴Tn=1×e3+2×e5+…+n×e2n+1①
∴e2Tn=1×e5+2×e7+…+(n-1)×e2n+1+n×e2n+3②
①-②可得Tn-e2Tn=1×e3+1×e5+…+1×e2n+1-n×e2n+3
∴Tn=
e3-e3+2n
(1-e2)2
-
e2n+3
1-e2

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