设数列{an}前n项和为Sn，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-n(n-1)2，n∈N+．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）求证：若数列{an}中存在三项构成等比数列，则x为有理数．-数学

题目简介

题目详情

设数列{a_n}前n项和为S_n，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-

n(n-1)

，n∈N₊．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）求证：若数列{a_n}中存在三项构成等比数列，则x为有理数．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由Sn=nan-

n(n-1)

（n∈N*）得：Sn+1=nan+1-

n(n+1)

，
∴Sn+1-Sn=an+1=（n+1）an+1-nan-n，
∴an+1-an=1，又数列{an}首项为x，
则数列{an}是首项为x，公差为1的等差数列；
（2）若三个不同的项x+i，x+j，x+k成等比数列，且i＜j＜k，
则（x+j）2=（x+i）（x+k），即x（i+k-2j）=j2-ik，
若i+k-2j=0，则j2-ik=0，
∴i=j=k与i＜j＜k矛盾，
则i+k-2j≠0，
∴x=

j 2-ik

i+k-2j

，且i，j，k都是非负数，
∴x是有理数．

上一篇 : 等差数列{an}的前10项和为30，前
下一篇 : 已知等差数列{an}的前n项和为S

设数列{an}前n项和为Sn，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-n(n-1)2，n∈N+．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）求证：若数列{an}中存在三项构成等比数列，则x为有理数．-数学

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐