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已知数列{an}、{bn}满足：a1=14，an+bn=1，bn+1=bn1-an2．（1）求a2，a3；（2）证数列{1an}为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；（3）设Sn=a1a2

题目简介

已知数列{an}、{bn}满足：a1=14，an+bn=1，bn+1=bn1-an2．（1）求a2，a3；（2）证数列{1an}为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；（3）设Sn=a1a2

题目详情

已知数列{ an}、{ bn}满足：a1=
1
4
，an+bn=1，bn+1=
bn
1-an2
．
（1）求a2，a3；
（2）证数列{
1
an
}为等差数列，并求数列{an}和{ bn}的通项公式；
（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求实数λ为何值时4λSn＜bn恒成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵a1=class="stub"1
4
，∴b1=1-class="stub"1
4
=class="stub"3
4
，b2=
b1
1-a12
=
class="stub"3
4
1-(class="stub"1
4
)2
=class="stub"4
5
，
a2=1-b2=1-class="stub"4
5
=class="stub"1
5
，b3=
b2
1-a22
=
class="stub"4
5
1-(class="stub"1
5
)2
=class="stub"5
6
，a3=1-b3=1-class="stub"5
6
=class="stub"1
6
．
∴a2=class="stub"1
5
，a3=class="stub"1
6
；
（2）证明：由an+1+bn+1=1，bn+1=
bn
1-an2
，
∴1-an+1=bn+1=
bn
1-an2
=
1-an
(1-an)(1+an)
=class="stub"1
1+an
，
∴1-an+1=class="stub"1
1+an
，即an-an+1=anan+1，
∴class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=1
∴数列{class="stub"1
an
}是以4为首项，1为公差的等差数列．
∴class="stub"1
an
=4+(n-1)=3+n，则an=class="stub"1
n+3
，
∴bn=1-an=1-class="stub"1
n+3
=class="stub"n+2
n+3
；
（3）由an=class="stub"1
n+3
，
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1
=class="stub"1
4×5
+class="stub"1
5×6
+…+class="stub"1
(n+3)(n+4)

=class="stub"1
4
-class="stub"1
5
+class="stub"1
5
-class="stub"1
6
+…+class="stub"1
n+3
-class="stub"1
n+4

=class="stub"1
4
-class="stub"1
n+4
=class="stub"n
4(n+4)
．
∴4λSn-bn=class="stub"λn
n+4
-class="stub"n+2
n+3
=
(λ-1)n2+(3λ-6)n-8
(n+3)(n+4)
，
要使4λSn＜bn恒成立，只需（λ-1）n2+（3λ-6）n-8＜0恒成立，
设f（n）=（λ-1）n2+3（λ-2）n-8
当λ=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，
当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，
当λ＜l时，对称轴n=-class="stub"3
2
•class="stub"λ-2
λ-1
=-class="stub"3
2
(1-class="stub"1
λ-1
)＜0
f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．
只需f（1）=（λ-1）n2+（3λ-6）n-8=（λ-1）+（3λ-6）-8=4λ-15＜0
∴λ＜class="stub"15
4
，∴λ≤1时4λSn＜bn恒成立．
综上知：λ≤1时，4λSn＜bn恒成立．

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