（已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-l（n≥2且n∈N*．）（I）证明：数列{an-12n}为等差数列：（II）求数列{an-1}的前n项和Sn．-数学

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（已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-l（n≥2且n∈N^*．）
（I）证明：数列{

an-1

}为等差数列：
（II）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）设bn=

an-1

，则b1=class="stub"5-1

=2…2分，
bn+1-bn=

an+1-1

2n+1

an-1

=class="stub"1

2n+1

[（2n+1-1）+1]=1…4分
∴数列{

an-1

}为首项是2，公差是1的等差数列…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

an-1

a1-1

+（n-1）×1，
∴an-1=（n+1）•2n…7分
∵Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n①
∴2Sn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1②…9分
①-②，得：-Sn=4+（22+23+…+2n）-（n+1）•2n+1
∴Sn=-4-4（2n-1-1）+（n+1）•2n+1，
∴Sn=n•2n+1…12分

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（已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-l（n≥2且n∈N*．）（I）证明：数列{an-12n}为等差数列：（II）求数列{an-1}的前n项和Sn．-数学

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