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已知数列{an}是首项为a1=12，公比q=12的等比数列．设bn+2=3log12an(n∈N*)，数列{cn}满足cn=an•bn（I）求证：数列{bn}是等差数列；（II）求数列{cn}的前n项

题目简介

已知数列{an}是首项为a1=12，公比q=12的等比数列．设bn+2=3log12an(n∈N*)，数列{cn}满足cn=an•bn（I）求证：数列{bn}是等差数列；（II）求数列{cn}的前n项

题目详情

已知数列{an}是首项为a1=
1
2
，公比q=
1
2
的等比数列．设bn+2=3log
1
2
an(n∈N*)，数列{cn}满足cn=an•bn
（I）求证：数列{bn}是等差数列；
（II）求数列{cn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）证明：∵a1=class="stub"1
2
，公比q=class="stub"1
2
，
∴an=class="stub"1
2
•(class="stub"1
2
)n-1=(class="stub"1
2
)n，
∴logclass="stub"1
2
an=n，
又bn+2=3logclass="stub"1
2
an=3n，
∴bn=3n-2，b1=1，
∴bn+1=3（n+1）-2，
∴bn+1-bn=3，
∴{bn}是1为首项，3为公差的等差数列；
（II）由（Ⅰ）知bn=3n-2，an=(class="stub"1
2
)n，
∴cn=an•bn=（3n-2）•(class="stub"1
2
)n，
∴Sn=1×(class="stub"1
2
)1+4×(class="stub"1
2
)2+7×(class="stub"1
2
)3+…+（3n-2）×(class="stub"1
2
)n ①
class="stub"1
2
Sn=1×(class="stub"1
2
)2+4×(class="stub"1
2
)3+7×(class="stub"1
2
)4+…+（3n-5）×(class="stub"1
2
)n+（3n-2）×(class="stub"1
2
)n+1②
故①-②得：class="stub"1
2
Sn=1×class="stub"1
2
+3×(class="stub"1
2
)2+3×(class="stub"1
2
)3+3×(class="stub"1
2
)4+…+3×(class="stub"1
2
)n-（3n-2）×(class="stub"1
2
)n+1
∴class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
2
+3×
(class="stub"1
2
)2[1-(class="stub"1
2
)n-1]
1-class="stub"1
2
-（3n-2）×(class="stub"1
2
)n+1=2-class="stub"4+3n
2n+1
，
∴Sn=4-class="stub"4+3n
2n
．

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