数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求a1;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=1an2

题目简介

数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求a1;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=1an2

题目详情

数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.
(1)求a1
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=
1
an2
,求证:对任意正整n,总有Tn<2.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵对于任意的n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.
2Sn=an+
a2n

令n=1,得2a1=2S1=a1+
a21
,解得a1=1.
(2)当n≥2时,由2Sn=an+
a2n
2Sn-1=an-1+
a2n-1

2an=an+
a2n
-an-1-
a2n-1

∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
∵∀n∈N*,an>0,∴an-an-1=1,
∴数列{an}是公差为1的等差数列,
∴an=1+(n-1)×1=n.
(3)由(2)可得bn=class="stub"1
n2

当n≥2时,bn<class="stub"1
n(n-1)
=class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n

Tn<1+(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
)
=2-class="stub"1
n
<2

当n=1时,T1=bn=1<2.
∴对任意正整n,总有Tn<2.

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