Pn(xn,yn)是函数y=x2(x≥0)图象上的动点,以Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切,且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切,若x1=1,xn+1<xn.(1)求证:数列{1xn}是等差数列;(2)设⊙P

题目简介

Pn(xn,yn)是函数y=x2(x≥0)图象上的动点,以Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切,且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切,若x1=1,xn+1<xn.(1)求证:数列{1xn}是等差数列;(2)设⊙P

题目详情

Pn(xn,yn)是函数y=x2(x≥0)图象上的动点,以Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切,且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切,若x1=1,xn+1<xn
(1)求证:数列{
1
xn
}
是等差数列;
(2)设⊙Pn的面积为Sn,求证:
S1
+
S2
+…+
Sn
3
π
2
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证:由⊙Pn与x轴都相切,知⊙Pn的半径rn=yn=xn2;又⊙Pn与⊙Pn+1外切,得:|PnPn+1|=rn+rn+1
(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2
=yn+yn+1
⇒(xn-xn+1)2=4ynyn+1=4xn2xn+12.
由xn>xn+1>0得:xn-xn+1=2xnxn+1⇒class="stub"1
xn+1
-class="stub"1
xn
=2

{class="stub"1
xn
}
是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)S1=π(x1)4S2=π(x2)4…Sn=π(xn)4
约去
π
证明(x1)2+(x2)2+…(xn)2<class="stub"3
2
即可
由(1)知(x1)2+(x2)2+…(xn)2
=1+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
5
)2+…( class="stub"1
2n-1
)2
因为1+( class="stub"1
2
)2+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
4
)2+…( class="stub"1
n
)2
=[1+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
5
)2+…( class="stub"1
2n-1
)2]+class="stub"1
4
[1+( class="stub"1
2
)2+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
4
)2+…( class="stub"1
n
)2]
即1+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
5
)2+…( class="stub"1
2n-1
)2=class="stub"3
4
1+( class="stub"1
2
)2+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
4
)2+…( class="stub"1
n
)2
又因为 1+[( class="stub"1
2
)2+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
4
)2+( class="stub"1
5
)2+( class="stub"1
6
)2+( class="stub"1
7
)2]+( class="stub"1
8
)2+…
<1+[( class="stub"1
2
)2+( class="stub"1
2
)2+( class="stub"1
4
)2+( class="stub"1
4
)2+( class="stub"1
4
)2+( class="stub"1
4
)2+8( class="stub"1
8
)2+…
=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
4
+class="stub"1
8
…=2
即就是1+( class="stub"1
2
)2+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
4
)2+…( class="stub"1
n
)2<2
所以 1+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
5
)2+…( class="stub"1
2n-1
)<class="stub"3
4
×2=class="stub"3
2

即1+( class="stub"1
3
)2+( class="stub"1
5
)2+…( class="stub"1
2n-1
)<class="stub"3
2

所以
S1
+
S2
+
S3
+…+
Sn
3
π
2

Tn
3
π
2

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