首页 > 已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2），a4=81．（1）求数列的前三项a1，a2，a3；（2）数列{an+p2n}为等差数列，求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2），a4=81．（1）求数列的前三项a1，a2，a3；（2）数列{an+p2n}为等差数列，求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项

题目简介

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2），a4=81．（1）求数列的前三项a1，a2，a3；（2）数列{an+p2n}为等差数列，求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项

题目详情

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2），a4=81．
（1）求数列的前三项a1，a2，a3；
（2）数列{
an+p
2n
}为等差数列，求实数p的值；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2）得a4=2a3+24-1=81，得a3=33
同理，得a2=13，a1=5…（4分）
（2）对于n∈N，且n≥2，
∵
an+p
2n
-
an-1+p
2n-1
=
an-2an-1-p
2n
=
2n-1-p
2n
=1-class="stub"1+p
2n

又数列{
an+p
2n
}为等差数列，∴
an+p
2n
-
an-1+p
2n-1
是与n无关的常数，
∴1+p=0，p=-1…（8分）
（3）由（2）知，等差数列{
an+p
2n
}的公差为1，
∴
an-1
2n
=
a1-1
2
+(n-1)=n+1，得an=(n+1)•2n+1．…（9分）
∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n+n，
记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n，则有2Tn=+2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1，
两式相减，得 Tn=n×2n+1，
故  Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1)．…（13分）

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