首页 > 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{bn}满足b1=34，且3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an}

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{bn}满足b1=34，且3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an}

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{bn}满足b1=34，且3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an}

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=
1
4
，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{bn}满足b1=
3
4
，且3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列；
（Ⅱ）求证：数列{bn-an}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{bn}的通项公式以及前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：∵2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*），
∴当n≥2时，2an=2an-1+1，
可得an-an-1=class="stub"1
2
．
∴数列{an}为等差数列．（4分）
（Ⅱ）证明：∵{an}为等差数列，公差d=class="stub"1
2
，
∴an=a1+(n-1)×class="stub"1
2
=class="stub"1
2
n-class="stub"1
4
.（5分）
又3bn-bn-1=n（n≥2），
∴bn=class="stub"1
3
bn-1+class="stub"1
3
n(n≥2)，
∴bn-an=class="stub"1
3
bn-1+class="stub"1
3
n-class="stub"1
2
n+class="stub"1
4
=class="stub"1
3
bn-1-class="stub"1
6
n+class="stub"1
4

=class="stub"1
3
(bn-1-class="stub"1
2
n+class="stub"3
4
)
=class="stub"1
3
[bn-1-class="stub"1
2
(n-1)+class="stub"1
4
]
=class="stub"1
3
(bn-1-an-1).（8分）
又b1-a1=class="stub"1
2
≠0，
∴对n∈N*，bn-an≠0，得
bn-an
bn-1-an-1
=class="stub"1
3
  (n≥2)．
∴数列{bn-an}是首项为class="stub"1
2
公比为class="stub"1
3
等比数列．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得bn-an=class="stub"1
2
•(class="stub"1
3
)n-1，
∴b n=class="stub"n
2
-class="stub"1
4
+class="stub"1
2
•(class="stub"1
3
)n-1 (n∈N*)．（11分）
∵b1-a1+b2-a2++bn-an=
class="stub"1
2
[1-(class="stub"1
3
)n]
1-class="stub"1
3
，
∴b1+b2++bn-(a1+a2++an)=class="stub"3
4
[1-(class="stub"1
3
)n]，
∴Tn-
n2
4
=class="stub"3
4
[1-(class="stub"1
3
)n]．
∴Tn=
n2
4
+class="stub"3
4
[1-(class="stub"1
3
)n]  (n∈N*)．（14分）

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