已知等差数列{an}的公差d大于0,且满足a3a6=55,a2+a7=16.数列{bn}满足an=b1+b22+b322+…+bn2n-1(n∈N*).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)

题目简介

已知等差数列{an}的公差d大于0,且满足a3a6=55,a2+a7=16.数列{bn}满足an=b1+b22+b322+…+bn2n-1(n∈N*).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)

题目详情

已知等差数列{an}的公差d大于0,且满足a3a6=55,a2+a7=16.数列{bn}满足an=b1+
b2
2 
+
b3
22
+…+
bn
2n-1
 (n∈N *)

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=
anan+1an+2
bn+1
,求cn取得最大值时n的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵{an}是一个公差d大于0的等差数列,则a3+a6=a2+a7.
a3+a6=16
a3a6=55.
解得
a3=5
a6=11.
…(2分)
则3d=a6-a3=6,d=2.a1=1.
∴an=2n-1.                                …(4分)
an=b1+
b2
2 
+
b3
22
+…+
bn
2n-1
(n∈N *)
,①
1°当n=1时,b1=a1=1;                        …(5分)
2°当n≥2时,an-1=b1+
b2
2 
+
b3
22
+…+
bn-1
2n-2
(n ≥ 2,n∈N *)
,②
①-②,得
bn
2n-1
=an-an-1=2

bn=2n(n ≥ 2).                              …(8分)
由1°,2°,得bn=
1,     n=1
2n,   n ≥ 2,n∈N *. 
…(9分)
(2)设cn≤cn+1,即 
anan+1an+2
bn+1
 ≤ 
an+1an+2an+3
bn+2
.    …(10分)
∵an>0,bn+2=2bn+1,∴2an≤an+3.
即2(2n-1)≤2n+5,∴n ≤ class="stub"7
2
(等号不成立).      …(12分)
∴c1˂c2˂c3˂c4,c4˃c5˃….
∴n=4时,cn最大.                           …(14分)

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