首页 > 已知i=(1，0)，jn=(cos2nπ2，sinnπ2)，Pn=(an，sinnπ2)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+jn)•Pn．（I）求证：数列{a2k-1}

已知i=(1，0)，jn=(cos2nπ2，sinnπ2)，Pn=(an，sinnπ2)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+jn)•Pn．（I）求证：数列{a2k-1}

题目简介

已知i=(1，0)，jn=(cos2nπ2，sinnπ2)，Pn=(an，sinnπ2)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+jn)•Pn．（I）求证：数列{a2k-1}

题目详情

已知
i
=(1，0)，
jn
=(cos2
nπ
2
，sin
nπ
2
)，
Pn
=(an，sin
nπ
2
)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+
jn
)•
Pn
．
（I）求证：数列{a2k-1}是等差数；数列{a2k}是等比数列；（其中k∈N*）；
（II）记an=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）an+2=(
i
+
jn
)•
Pn
=[(1，0)+(cos2class="stub"nπ
2
，sinclass="stub"nπ
2
)]•(an，sinclass="stub"nπ
2
)=(1+cos2class="stub"nπ
2
，sinclass="stub"nπ
2
)•(an，sinclass="stub"nπ
2
)
=(1+cos2class="stub"nπ
2
)an+sinclass="stub"nπ
2
，…（2分）
当n=2k-1（k∈N*）时，
a2k+1=[1+cos2
(2k-1)π
2
]a2k-1+sin2class="stub"2k-1
2
π
=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1．
所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，…（4分）当n=2k(k∈N*)时，a2k+2=(1+cos2class="stub"2kπ
2
)a2k+sin2class="stub"2kπ
2
=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，…（6分）
（II）由（I）可知：a2k-1=k，a2k=2k．
故数列{an}的通项公式为an=
class="stub"n+1
2
，n=2k-1(k∈N*)
2class="stub"n
2
，n=2k(k∈N*).
…（7分）
当n为奇数时，（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≥0⇔λ≥
f(n2)
f(2n)
=
n2+1
2n+1

令g（n）=
n2+1
2n-1
⇒g(n+1)-g(n)=
2n-n2
2n
＜0⇒g（n+1）＜g（n）
所以g（n）为单调递减函数，∴g（n）max=g（3）=class="stub"5
8
⇒λ≥class="stub"5
8
…（10分）
当n为偶数时，（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≥0⇔λ≤
f(n2)
f(2n)
=2
(n-1)2-1
2

令h(n)=2
(n-1)2-1
2
，显然h（n）为单调递增函数，
h（n）min=h（2）=1⇒λ≤1
综上，λ的取值范围是[class="stub"5
8
，1]…（12分）

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