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已知已知函数f(x)=x2x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列；（Ⅱ）记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，试比较2Sn与1

题目简介

已知已知函数f(x)=x2x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列；（Ⅱ）记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，试比较2Sn与1

题目详情

已知已知函数f(x)=
x
2x+1
，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（Ⅱ）记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，试比较2Sn与1的大小．
题型：解答题难度：中档来源：汕头模拟

答案

（Ⅰ）由已知得，an+1=
an
2an+1
，
∴class="stub"1
an+1
=class="stub"1
an
+2，即class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=2．
∴数列{class="stub"1
an
}是首项，公差d=2的等差数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知class="stub"1
an
=1+(n-1)×2=2n-1，
∴an=class="stub"1
2n-1
(n∈N*)，（8分）
∴anan+1=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)，（10分）
∴Sn=a1a2+a2a3++anan+1=class="stub"1
1×3
+class="stub"1
3×5
++class="stub"1
(2n-1)(2n+1)

=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)++(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1
．（14分）
∴2Sn-1=class="stub"2n
2n+1
-1=class="stub"-1
2n+1
＜0（n∈N*），∴2Sn＜1．（16分）

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