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已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+λ•2n（n∈N*，λ为常数），且a1，a2+2，a3成等差数列．（1）求λ的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设数列{bn}满足bn=n2an+

题目简介

已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+λ•2n（n∈N*，λ为常数），且a1，a2+2，a3成等差数列．（1）求λ的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设数列{bn}满足bn=n2an+

题目详情

已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+λ•2n（n∈N*，λ为常数），且a1，a2+2，a3成等差数列．
（1）求λ的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{bn}满足bn=
n2
an+3
，证明：bn≤
9
16
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为a1=1，an+1=an+λ•2n（n∈N*），
所以a2=a1+λ•21=1+2λ，a3=a2+λ•22=1+6λ．
因为a1，a2+2，a3成等差数列，
所以a1+a3=2（a2+2），即2+6λ=2（3+2λ），
解得λ=2．
（2）由（1）得，λ=2，所以an+1=an+2n+1（n∈N*），
所以an-an-1=2n（n≥2）．
当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+22+23+…+2n=1+
22(1-2n-1)
1-2
=2n+1-3．
又a1=1也适合上式，
所以数列（-∞，a]的通项公式为an=2n+1-3（n∈N*）．
（3）证明：由（2）得，an=2n+1-3，所以bn=
n2
2n+1
．
因为bn+1-bn=
(n+1)2
2n+2
-
n2
2n+1
=
-n2+2n+1
2n+2
=
-(n-1)2+2
2n+2
，
当n≥3时，-（n-1）2+2＜0，所以当n≥3时，bn+1-bn＜0，即bn+1＜bn．
又b1=class="stub"1
4
＜b2=class="stub"1
2
＜b3=class="stub"9
16
，
所以bn≤b3=class="stub"9
16
（n∈N*）．

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