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已知数列{an}中，a1=12，点（n，，2an+1-an）（n∈N*）在直线y=x上．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）令bn=an+1-an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅲ）求数列{a

题目简介

已知数列{an}中，a1=12，点（n，，2an+1-an）（n∈N*）在直线y=x上．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）令bn=an+1-an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅲ）求数列{a

题目详情

已知数列{an}中，a1=
1
2
，点（n，，2an+1-an）（n∈N*）在直线y=x上．
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）令bn=an+1-an-1，求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：广东模拟

答案

（Ⅰ）由题意，2an+1-an=n，又a1=class="stub"1
2
，所以2a2-a1=1，解得a2=class="stub"3
4
．（2分）
同理a3=class="stub"11
8
，a4=class="stub"35
16
，（3分）
（Ⅱ）因为2an+1-an=n，
所以bn+1=an+2-an+1-1=
an+1+n+1
2
-an+1-1=
n-an+1-1
2
，（5分）bn=an+1-an-1=an+1-(2an+1-n)-1=n-an+1-1=2bn+1，即
bn+1
bn
=class="stub"1
2
（7分）
又b1=a2-a1-1=-class="stub"3
4
，所以数列{bn}是以-class="stub"3
4
为首项，class="stub"1
2
为公比的等比数列．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=-class="stub"3
4
•(class="stub"1
2
)n-1（10分）
∴an+1-an-1=-class="stub"3
4
•(class="stub"1
2
)n-1∴an+1-an=-class="stub"3
4
•(class="stub"1
2
)n-1+1（11分）
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）（12分）
=class="stub"1
2
-class="stub"3
4
[(class="stub"1
2
)0+(class="stub"1
2
)1+(class="stub"1
2
)2++(class="stub"1
2
)n-2]+n-1
=n-2+class="stub"3
2n
（14分）

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