首页 > 数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时，求实数λ及a3；（Ⅱ）当λ=5时，设bn=an2n，求数列{bn}的通项公式（III）是否存在实数

数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时，求实数λ及a3；（Ⅱ）当λ=5时，设bn=an2n，求数列{bn}的通项公式（III）是否存在实数

题目简介

数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时，求实数λ及a3；（Ⅱ）当λ=5时，设bn=an2n，求数列{bn}的通项公式（III）是否存在实数

题目详情

数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 当a2=-1时，求实数λ及a3；
（Ⅱ）当λ=5时，设bn=
an
2n
，求数列{bn}的通项公式
（III）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本小题8分）
（Ⅰ）∵a1=2，a2=-1，a2=（λ-3）a1+2，∴λ=class="stub"3
2
，…（1分）
故a3=-class="stub"3
2
a2+2 ，所以a3=class="stub"11
2
．…（2分）
（Ⅱ）当λ=5时，an+1=2an+2n，两边同除以2n+1，得：
an+1
2n+1
=
2an
2n
+class="stub"1
2
…（3分）
所以，{
an
2n
}是一个以1为首项，以class="stub"1
2
为公差的等差数列，所以：bn=
an
2n
=1+class="stub"1
2
(n-1)=class="stub"n+1
2

所以{bn}的通项公式为bn=class="stub"n+1
2
．                         …（5分）
（III）∵a1=2，an+1=（λ-3）an+2n∴a2=（λ-3）a1+2=2λ-4，a3=（λ-3）a2+4=2λ2-10λ+16
若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2∴λ2-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，…（7分）
故不存在实数λ，使得数列{an}为等差数列．…（8分）

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