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已知数列{an}满足2anan+2an+1(n∈N*)，且a1=11006．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列，并求通项an；（Ⅱ）若bn=2-2010anan，且cn=bn•(12)n(n∈N*)

题目简介

已知数列{an}满足2anan+2an+1(n∈N*)，且a1=11006．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列，并求通项an；（Ⅱ）若bn=2-2010anan，且cn=bn•(12)n(n∈N*)

题目详情

已知数列{an}满足
2an
an+2
an+1(n∈N*)，且a1=
1
1006
．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}是等差数列，并求通项an；
（Ⅱ）若bn=
2-2010an
an
，且cn=bn•(
1
2
)n(n∈N*)，求和Tn=c1+c2+…+cn；
（Ⅲ）比较Tn与
5n
2n+1
的大小，并予以证明．
题型：解答题难度：中档来源：安徽模拟

答案

（Ⅰ）证明：∵
2an
an+2
=an+1，an≠0⇒class="stub"1
an+1
=class="stub"1
an
+class="stub"1
2

数列{class="stub"1
an
}是首项为class="stub"1
a1
，公差为class="stub"1
2
的等差数列，…（2分）
故class="stub"1
an
=class="stub"1
a1
+(n-1)•class="stub"1
2
=
2+(n-1)a1
2a1

因为a1=class="stub"1
1006

所以数列{xn}的通项公式为an=
2a1
(n-1)a1+2
=class="stub"2
n+2011
．（4分）
（Ⅱ）将an代入bn可求得bn=
2-2010×class="stub"2
n+2011
class="stub"2
n+2011
=n+1，
所以cn=bn•(class="stub"1
2
)n=(n+1)(class="stub"1
2
)n…（5分）
Tn=2×class="stub"1
2
+3×(class="stub"1
2
)2+4×(class="stub"1
2
)3+…+(n+1)(class="stub"1
2
)n①
class="stub"1
2
Tn=2×(class="stub"1
2
)2+3×(class="stub"1
2
)3+4×(class="stub"1
2
)4+…+(n+1)(class="stub"1
2
)n+1②…（7分）
由①-②得class="stub"1
2
Tn=1+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
2
)n-(n-1)(class="stub"1
2
)n+1
=1+
class="stub"1
4
[1-(class="stub"1
2
)n-1]
1-class="stub"1
2
-(n+1)(class="stub"1
2
)n+1=class="stub"3
2
-class="stub"n+3
2n+1

∴Tn=3-class="stub"n+3
2n
…（9分）
（Ⅲ）Tn-class="stub"5n
2n+1
=3-class="stub"n+3
2n
-class="stub"5n
2n+1
=
(n+3)(2n-2n-1)
2n(2n+1)

于是确定Tn与class="stub"5n
2n+1
的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小
当n=1时，Tn=3-class="stub"n+3
2n
=3-2=1，class="stub"5n
2n+1
=class="stub"5
3
，Tn＜class="stub"5n
2n+1
，
当n=2时，Tn=3-class="stub"n+3
2n
=3-class="stub"5
4
=class="stub"7
4
，class="stub"5n
2n+1
=2，Tn＜class="stub"5n
2n+1
，
当n=3时，23=8＞2×3+1=7，
当n=4时，24=16＞2×4+1=9，
…
可猜想当n≥3时，2n＞2n+1…（11分）
证明如下：
（1）当n=3时，由上验算显示成立，
（2）假设n=k时成立，即2k＞2k+1
则n=k+1时2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时猜想也成立
综合（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n+1…（12分）
综上所述，当n=1，2时，Tn＜class="stub"5n
2n+1
，
当n≥3时，Tn＞class="stub"5n
2n+1
．…（13分）

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