首页 > 已知数列{an}满足an-2an-1-2n-1=0，（n∈N*，n≥2），a1=1．（1）求证：数列{an2n}是等差数列；（2）若Sn=a1+a2+…+an，且Sn+2n＞100恒成立，求n的最小值

已知数列{an}满足an-2an-1-2n-1=0，（n∈N*，n≥2），a1=1．（1）求证：数列{an2n}是等差数列；（2）若Sn=a1+a2+…+an，且Sn+2n＞100恒成立，求n的最小值

题目简介

已知数列{an}满足an-2an-1-2n-1=0，（n∈N*，n≥2），a1=1．（1）求证：数列{an2n}是等差数列；（2）若Sn=a1+a2+…+an，且Sn+2n＞100恒成立，求n的最小值

题目详情

已知数列{an}满足an-2an-1-2n-1=0，（n∈N*，n≥2），a1=1．
（1）求证：数列{
an
2n
}是等差数列；
（2）若Sn=a1+a2+…+an，且Sn+2n＞100恒成立，求n的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：安徽模拟

答案

（1）an-2an-1-2n-1=0，
∴
an
2n
-
an-1
2n-1
=class="stub"1
2
，
∴{
an
2n
}是以class="stub"1
2
为首项，class="stub"1
2
为公差的等差数列．       （4分）
（2）由（1）：
an
2n
=class="stub"1
2
+(n-1)×class="stub"1
2
，
∴an=n•2n-1（6分）
∴Sn=1•2°+2•21+3•22+…+n•2n-1①
则2Sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n②
①-②，得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n
=
1•(1-2n)
1-2
-n•2n
=2n-1-n•2n，
∴Sn=（n-1）•2n+1（9分）
由Sn+2n＞100，
即（n-1）•2n+1+2n＞100恒成立，
得n•2n+1＞100恒成立，
∵{n•2n}是单增数列，且4•24+1=65，5•25+1=161，
∴nmin=5（12分）

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