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已知数列{an}：1，1+12，1+13+23，1+14+24+34，…，1+1n+2n+…+n-1n，…．（I）求数列{an}的通项公式an，并证明数列{an}是等差数列；（II）设bn=n(an+

题目简介

已知数列{an}：1，1+12，1+13+23，1+14+24+34，…，1+1n+2n+…+n-1n，…．（I）求数列{an}的通项公式an，并证明数列{an}是等差数列；（II）设bn=n(an+

题目详情

已知数列{an}：1，1+
1
2
，1+
1
3
+
2
3
，1+
1
4
+
2
4
+
3
4
，…，1+
1
n
+
2
n
+…+
n-1
n
，…．
（I）求数列{an}的通项公式an，并证明数列{an}是等差数列；
（II）设bn=
n
(an+1-an)n
，求数列{bn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵an=1+class="stub"1
n
+class="stub"2
n
+…+class="stub"n-1
n
=1+
(class="stub"1
n
+class="stub"n-1
n
)(n-1)
2
=class="stub"n+1
2
，
∴an+1-an=
(n+1)+1
2
-class="stub"n+1
2
=class="stub"1
2
，又a1=1，
∴数列{an}是以1为首项，class="stub"1
2
为公差的等差数列；
（II）∵bn=class="stub"n
(an+1-an)n
=class="stub"n
(class="stub"1
2
)n
=n•2n，
∴Tn=b1+b2+…+bn=1×21+2×22+…+n•2n，①
∴2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n•2n+1，②
①-②得：-Tn=21+22+…+2n-n•2n+1
=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1
=（1-n）•2n+1-2，
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．

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