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已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan（k＞0，n∈N*）．（1）用n、k表示an；（2）数列{bn}对n∈N*均有（bn+1-bn+2）lga1+（bn+2-bn）lga3+（bn-bn+1）l

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan（k＞0，n∈N*）．（1）用n、k表示an；（2）数列{bn}对n∈N*均有（bn+1-bn+2）lga1+（bn+2-bn）lga3+（bn-bn+1）l

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan（k＞0，n∈N*）．
（1）用n、k表示an；
（2）数列{bn}对n∈N*均有（bn+1-bn+2）lga1+（bn+2-bn）lga3+（bn-bn+1）lga5=0，求证：数列{bn}为等差数列；
（3）在（1）、（2）中，设k=1，bn=n+1，xn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，求证：xn＜3．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵Sn=1-kan，
∴S1=a1=1-ka1，
∴a1=class="stub"1
k+1

∴an+1=Sn+1-Sn=（1-kan+1）-（1-kan），
∴an+1=kan-kan+1，即 （k+1）an+1=kan，
∵kk≠1解得an+1=class="stub"k
k+1
an（1）
∵k＞0，a1≠0，由（1）式易知an≠0，n≥1，
∴
an+1
an
=class="stub"k
k+1

故该数列是公比为class="stub"k
k+1
，首项为class="stub"1
k+1
的等比数列，
∴an=class="stub"1
k+1
×（class="stub"k
k+1
）n-1．
证明：（2）∵（bn+1-bn+2）lga1+（bn+2-bn）lga3+（bn-bn+1）lga5=0，
∴（bn+1-bn+2）lgclass="stub"1
k+1
+（bn+2-bn）lg[（class="stub"1
k+1
×（class="stub"k
k+1
）2]+（bn-bn+1）lg[（class="stub"1
k+1
×（class="stub"k
k+1
）4]=0…①
令lgclass="stub"1
k+1
=m，lgclass="stub"k
k+1
=n，则m，n均不为0
则①式可化为m（bn+1-bn+2）+（m+2n）（bn+2-bn）+（m+4n）（bn-bn+1）=0
即bn+2+bn=2bn+1，
即数列{bn}为等差数列；
（3）若k=1，an=class="stub"1
k+1
×（class="stub"k
k+1
）n-1=（class="stub"1
2
）n，
又∵bn=n+1，
∴xn=class="stub"1
2
×2+(class="stub"1
2
)2×3+(class="stub"1
2
)3×4+…+(class="stub"1
2
)n（n+1）…①，
∴class="stub"1
2
xn=(class="stub"1
2
)2×2+(class="stub"1
2
)3×3+…+(class="stub"1
2
)nn+(class="stub"1
2
)n+1（n+1）…②
①-②得class="stub"1
2
xn=1+[(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
2
)n]-(class="stub"1
2
)n+1（n+1）=class="stub"3
2
-class="stub"n+3
2
(class="stub"1
2
)n
∴xn=3-（n+3）(class="stub"1
2
)n
∵（n+3）(class="stub"1
2
)n＞0
∴xn＜3

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