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数列{an}、{bn}满足a3=b3=6，a4=b4=4，a5=b5=3，且{an+1-an}（n∈N*）是等差数列，{bn-2}（n∈N*）是等比数列．（I）求数列{an}、{bn}的通项公式；（I

题目简介

数列{an}、{bn}满足a3=b3=6，a4=b4=4，a5=b5=3，且{an+1-an}（n∈N*）是等差数列，{bn-2}（n∈N*）是等比数列．（I）求数列{an}、{bn}的通项公式；（I

题目详情

数列{an}、{bn}满足a3=b3=6，a4=b4=4，a5=b5=3，且{an+1-an}（n∈N*）是等差数列，{bn-2}（n∈N*）是等比数列．
（I）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（II）n取何值时，an-bn取到最小正值？试证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：丰台区二模

答案

（I）设cn=an+1-an，数列{an+1-an}的公差为d，
则c3=a4-a3=-2，c4=a5-a4=-1，
∴d=c4-c3=1，
∴cn=c3+（n-3）=n-5，
∴an+1-an=n-5
∴（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a5-a4）+（a4-a3）=（n-6）+（n-7）+…+（-1）+（-2），
∴an-a3=
(n-3)(n-8)
2
，
∴an=class="stub"1
2
n2-class="stub"11
2
n+18(n∈N*)；（4分）
设dn=bn-2，数列{bn-2}的公比是q，则d3=b3-2=4，d4=b4-2=2，
∴q=
d4
d3
=class="stub"1
2
，
∴dn=d3qn-3=4•(class="stub"1
2
)n-3=25-n，
∴bn=2+25-n（n∈N*）（7分）．
（II）a1-b1=-5，a2-b2=-1，a3-b3=a4-b4=a5-b5=0，
a6-b6=class="stub"1
2
，a7-b7=class="stub"7
4
＞class="stub"1
2
，
猜想：n=6时，a6-b6取到最小正值．（9分）
下面用数学归纳法给以证明：
（1）当n=7时，a7-b7=class="stub"7
4
＞class="stub"1
2
；
（2）假设n=k（k≥7，k∈N*）时，ak-bk＞class="stub"1
2
，
当n=k+1时，ak+1=class="stub"1
2
(k+1)2-class="stub"11
2
(k+1)+18=(class="stub"1
2
k2-class="stub"11
2
k+18)+k-5
=ak+k-5＞bk+class="stub"1
2
+k-5＞bk+1+class="stub"1
2
+k-5，
又∵k≥7，∴ak+1＞bK+1+class="stub"1
2
，
即ak+1-bK+1＞class="stub"1
2
，
∴n=k+1时，猜想成立．
由（1）、（2）知，对任意不少于7的正整数n，均有an-bn＞class="stub"1
2
．
综上所述，n=6时，a6-b6取到最小正值．（14分）
（用函数单调性证明相应给分）

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