首页 > 已知数列{an}满足[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n•3n，n∈N*，a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）设bn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，证明：{b

已知数列{an}满足[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n•3n，n∈N*，a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）设bn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，证明：{b

题目简介

已知数列{an}满足[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n•3n，n∈N*，a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）设bn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，证明：{b

题目详情

已知数列{an}满足[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n•3n，n∈N*，a1=2．
（Ⅰ）求a2，a3的值；
（Ⅱ）设bn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，证明：{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=an+
1
2
n2，求数列{cn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：盐城模拟

答案

（Ⅰ）因为数列{an}满足[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n•3n，（*），且a1=2，
所以将n=1代入（*）式，得3a1+a2=-2，故a2=-8
将n=2代入（*）式，得a2+3a3=7，故a3=5
（Ⅱ）证明：在（*）式中，用2n代换n，得[2+（-1）2n+1]a2n+[2+（-1）2n]a2n+1=1+（-1）2n•6n，
即a2n+3a2n+1=1+6n  ①，
再在（*）式中，用2n-1代换n，得[2+（-1）2n]a2n-1+[2+（-1）2n-1]a2n=1+（-1）2n-1•（6n-3），
即3a2n-1+a2n=4-6n②，
①-②，得3（a2n+1-a2n-1）=12n-3，即bn=4n-1
∴bn+1-bn=4，
∴{bn}是等差数列；
（Ⅲ）因为a1=2，由（Ⅱ）知，a2k-1=a1+（a3-a1）+…+（a2k-1-a2k-3）=（k-1）（2k-1）+2    ③，
将③代入②，得3（k-1）（2k-1）+6+a2k=4-6k，即a2k=-6k2+3k-5
所以c2k-1=a2k-1+class="stub"1
2
（2k-1）2=-4k2-5k+class="stub"7
2
，c2k=a2k+class="stub"1
2
（2k）2=-4k2+3k-5，
则c2k-1+c2k=-2k-class="stub"3
2
，
所以S2k=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c2k-1+c2k）=-k2-class="stub"5
2
k
所以S2k-1=S2k-c2k=（-k2-class="stub"5
2
k）-（-4k2+3k-5）=3k2-class="stub"11k
2
+5
故Sn=
3n2-5n+12
4
，n为奇数
-
n2+5n
4
，n为偶数
．

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