首页 > 已知数列{an}满足an+1=2anan+2（n∈N*），a2011=12011．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=4an-4023且cn=b2n+1+b2n2bn+1bn(n∈N*)，求证：

已知数列{an}满足an+1=2anan+2（n∈N*），a2011=12011．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=4an-4023且cn=b2n+1+b2n2bn+1bn(n∈N*)，求证：

题目简介

已知数列{an}满足an+1=2anan+2（n∈N*），a2011=12011．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=4an-4023且cn=b2n+1+b2n2bn+1bn(n∈N*)，求证：

题目详情

已知数列{an}满足an+1=
2an
an+2
（n∈N*），a2011=
1
2011
．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=
4
an
-4023且cn=
b2n+1
+
b2n
2bn+1bn
(n∈N*)，求证：c1+c2+…+cn＜n+1．
题型：解答题难度：中档来源：江西模拟

答案

（1）由已知，得class="stub"1
an+1
=class="stub"1
2
+class="stub"1
an
，即class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=class="stub"1
2
 (n∈N*)，
∴数列{class="stub"1
an
}是以class="stub"1
a1
为首项，class="stub"1
2
为公差的等差数列．
class="stub"1
an
=class="stub"1
a1
+(n-1)×class="stub"1
2
=
(n-1)a1+2
2a1
，
∴an=
2a1
(n-1)a1+2
…（4分）
又因为a2011=
2a1
2010a1+2
=class="stub"1
2011

解得a1=class="stub"1
1006

∴an=
2×class="stub"1
1006
(n-1)×class="stub"1
1006
+2
=class="stub"2
n+2011
…（6分）
（2）证明：∵an=class="stub"2
n+2011
，
∴bn=4×class="stub"n+2011
2
-4023=2n-1-------（7分）
∴cn=
b2n+1
+
b2n
2bn+1bn
=
(2n+1)2+(2n-1)2
2(2n+1)(2n-1)
=
4n2+1
4n2-1
=1+class="stub"2
(2n-1)(2n+1)
=1+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1

∴c1+c2+…cn-n=(1+1-class="stub"1
3
)+(1+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(1+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)-n=1-class="stub"1
2n+1
＜1
故c1+c2+…+cn＜n+1…（12分）

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