首页 > 已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．（1）若a1=0，bn=2n，求数列{an}的通项公式；（2）若bn+1+bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．

已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．（1）若a1=0，bn=2n，求数列{an}的通项公式；（2）若bn+1+bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．

题目简介

已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．（1）若a1=0，bn=2n，求数列{an}的通项公式；（2）若bn+1+bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．

题目详情

已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．
（1）若a1=0，bn=2n，求数列{an}的通项公式；
（2）若bn+1+bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．记cn=a6n-1（n≥1），求证：数列{cn}为常数列；
（3）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．若数列{
an
n
}中必有某数重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当n≥2时，有
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=a1+b1+b2+…+bn-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×
(n-1)n
2
=n2-n，又当n=1时此式也成立．
∴数列{an}的通项为an=n2-n．
（2）∵bn+1+bn-1=bn（n≥2），
∴对任意的n∈N*有bn+6=bn+5-bn+4=-bn+3=bn+1-bn+2=bn，
∴数列{bn}是一个以6为周期的循环数列
又∵b1=1，b2=2，
∴b3=b2-b1=1，b4=b3-b2=-1，b5=b4-b3=-2，b6=b5-b4=-1．
∴cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=a6n+5-a6n+4+a6n+4-a6n+3+…+a6n-a6n-1
=b6n+4+b6n+3+b6n+2+b6n+1+b6n+b6n-1=b4+b3+b2+b1+b6+b5
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以数列{cn}为常数列．
（3）∵bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2，
∴b3=2，b4=1，b5=class="stub"1
2
，b6=class="stub"1
2
，
且对任意的n∈N*，有bn+6=
bn+5
bn+4
=class="stub"1
bn+3
=
bn+1
bn+2
=bn，
设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5
=b1+b2+b3+b4+b5+b6
=1+2+2+1+class="stub"1
2
+class="stub"1
2
=7（n≥0）．
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．
记fn=
an
n
，则fk=
a6k+i
6k+i
=
ai+7
i+6k
=
class="stub"7
6
(i+6k)+ai-class="stub"7i
6
i+6k
=class="stub"7
6
+
ai-class="stub"7i
6
i+6k
，
（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当ai=class="stub"7i
6
时，对任意的n=6k+i有
ai
n
=class="stub"7
6
；
当ai≠class="stub"7i
6
时，fk+1-fk=
ai-class="stub"7i
6
6(k+1)+i
-
ai-class="stub"7i
6
6k+i

=(ai-class="stub"7i
6
)(class="stub"1
6(k+1)+i
-class="stub"1
6k+i
)
=(ai-class="stub"7i
6
)class="stub"-6
[6(k+1)+i](6k+i)
，
①若ai＞class="stub"7i
6
，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，数列{
a6k+i
6k+i
}为单调减数列；
②若ai＜class="stub"7i
6
，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，数列{
a6k+i
6k+i
}为单调增数列；
综上，当ai=class="stub"7i
6
且i∈{1，2，3，4，5，6}时，数列{
an
n
}中必有某数重复出现无数次
当i=1时，a1=class="stub"7
6
符合要求；当i=2时，a2=class="stub"7×2
6
=class="stub"7
3
符合要求，
此时的a1=a2-b1=class="stub"4
3
；
当i=3时，a3=class="stub"7×3
6
=class="stub"7
2
符合要求，
此时的a2=a3-b2=class="stub"3
2
，a1=a2-b1=class="stub"1
2
；
当i=4时，a4=class="stub"7×4
6
=class="stub"14
3
符合要求，
此时的a1=a4-b3-b2-b1=-class="stub"1
3
；
当i=5时，a5=class="stub"7×5
6
=class="stub"35
6
符合要求，
此时的a1=a5-b4-b3-b2-b1=-class="stub"1
6
；
当i=6时，a6=class="stub"7×6
6
=7符合要求，
此时的a1=a6-b5-b4-b3-b2-b1=class="stub"1
2
；
即当a1∈{class="stub"7
6
，class="stub"4
3
，class="stub"1
2
，-class="stub"1
3
，-class="stub"1
6
}时，
数列{
an
n
}中必有某数重复出现无数次．

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