在等差数列{an}中，a10=30，a20=50．（1）求数列{an}的通项an；（2）令bn=2an-10，证明：数列{bn}为等比数列；（3）求数列{nbn}的前n项和Tn．-数学

题目简介

在等差数列{a_n}中，a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）令b_n=2 an-10，证明：数列{b_n}为等比数列；
（3）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）设数列{an}首项为a1，公差为d，
依题意知

a1+9d=30

a1+19d=50

，解得a1=12，d=2，
∴an=12+（n-1）×2=2n+10．
（2）证明：∵an=2n+10，
∴bn=2 an-10=22n=4n，
∴

bn+1

4n+1

=4，
∴数列{bn}是以首项b1=4，公比为4的等比数列．
（3）∵nbn=n•4n，
∴Tn=1•4+2•42+…+n•4n，①
4Tn=1•42+2•43+…+n•4n+1，②
①-②，得-3Tn=4+42+…+4n-n•4n+1=

4(1-4n)

1-4

-n•4n+1=-class="stub"4

+(class="stub"1

-n)•4n+1，
∴Tn=class="stub"4

+(class="stub"n

-class="stub"1

)•4n+1．