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定义一种运算△：n△m=n•am（m，n∈N，a≠0）（1）若数列{an}（n∈N*）满足an=n△m，当m=2时，求证：数列{an}为等差数列；（2）设数列{cn}（n∈N*）的通项满足cn=n△（

题目简介

定义一种运算△：n△m=n•am（m，n∈N，a≠0）（1）若数列{an}（n∈N*）满足an=n△m，当m=2时，求证：数列{an}为等差数列；（2）设数列{cn}（n∈N*）的通项满足cn=n△（

题目详情

定义一种运算△：n△m=n•am（m，n∈N，a≠0）
（1）若数列{an}（n∈N*）满足an=n△m，当m=2时，求证：数列{an}为等差数列；
（2）设数列{cn}（n∈N*）的通项满足cn=n△（n-1），试求数列{cn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：广东模拟

答案

（1）证明：由题意知当m=2时，an=n△m=a2•n，
则有an+1=a2•（n+1）   （2分）
故有an+1-an=a2，（n∈N*），其中a1=1△2=a2，（3分）
所以数列{an}是以a1=a2为首项，公差d=a2的等差数列．（4分）

（2）依题意有，cn=n△（n-1）=n•an-1，（n∈N*），（5分）
所以，当a=1时，Sn=c1+c2++cn=1+2+3++n=
n(n+1)
2
；（7分）
当a≠1时，Sn=1•a0+2•a1++（n-1）•an-2+n•an-1，（1）
所以aSn=1•a1+2•a2++（n-1）•an-1+n•an（2）（8分）
由（2）-（1）得：（1-a）Sn=1•a0+1•a1++1•an-2+1•an-1-nan（9分）
得：Sn=
1-an
(1-a)2
-
nan(1-a)
(1-a)2
=
nan+1-nan-an+1
(1-a)2
，（n∈N*）（11分）
综上所述，Sn=
nan+1-nan-an+1
(1-a)2
，a≠1
n(n+1)
2
，a=1
（14分）

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