首页 > 数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时，求实数λ及a3；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在

数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时，求实数λ及a3；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在

题目简介

数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时，求实数λ及a3；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在

题目详情

数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 当a2=-1时，求实数λ及a3；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：海淀区二模

答案

（Ⅰ）∵a1=2，a2=-1，a2=（λ-3）a1+2，
∴λ=class="stub"3
2
，故a3=-class="stub"3
2
a2+2 ，
所以a3=class="stub"11
2
．…（3分）
（Ⅱ）∵a1=2，an+1=（λ-3）an+2n
∴a2=（λ-3）a1+2=2λ-4…（4分）
a3=（λ-3）a2+4=2λ2-10λ+16…（5分）
若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2∴λ2-7λ+13=0…（6分）
∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，…（7分）
故不存在实数λ，使得数列{an}为等差数列．…（8分）
（Ⅲ）∵an+1=（λ-3）an+2n，a1=2
若λ=3，则an=2n-1（n≥2）；                       …（9分）
若λ≠3，∴an=（λ-3）an-1+2n-1
=（λ-3）[（λ-3）an-2+2n-2]+2n-1
=（λ-3）{（λ-3）[（λ-3）an-3+2n-3]+2n-2}+2n-1
…
=（λ-3）n-1a1+（λ-3）n-2•2+（λ-3）n-3•22+…+（λ-3）•2n-2+2n-1
=（λ-3）n-1•2+（λ-3）n-2•2+（λ-3）n-3•22+…+（λ-3）•2n-2+2n-1
（n≥2）…（11分）
则数列（λ-3）n-1•2，（λ-3）n-2•2，（λ-3）n-3•22，…，（λ-3）•2n-2，2n-1
从第二项起，是一个首项为2（λ-3）n-2，公比为class="stub"2
λ-3
的等比数列．
如果class="stub"2
λ-3
=1，即λ=5时，an=2（5-3）n-1+（n-1）（5-3）n-2•2=2n+（n-1）2n-1=（n+1）•2n-1；
当n=1时也成立．
如果class="stub"2
λ-3
≠1，即λ≠5时，an=2(λ-3)n-1+
2•(λ-3)n-2[1-(class="stub"2
λ-3
)n-1]
1-class="stub"2
λ-3

=2(λ-3)n-1+
(λ-3)n-1•2-2n
λ-5

=class="stub"2λ-8
λ-5
(λ-3)n-1-
2n
λ-5

当n=1时也成立．
故数列{an}的通项公式为：当λ=3时，an=
2n-1n≥2
2n=1
；
当λ=5时，an=（n+1）•2n-1；
当λ≠5且λ≠3时，an=class="stub"2λ-8
λ-5
(λ-3)n-1-
2n
λ-5
．…（14分）
说明：其他正确解法按相应步骤给分．

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