已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn2=a13+a23+…+an3．（I）求证：数列{an}为等差数列，并求出通项公式；（II）设bn=（1-1an）2-a（1-1an），若bn+1＞bn对

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已知正数数列{a_n}的前n项和为Sn，满足S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（I）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出通项公式；
（II）设b_n=（1-

）²-a（1-

），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

法一：
（Ⅰ）∵Sn2=a13+a23+…+an3，
∴Sn-12=a13+a23+…+an-13，
两式相减，得an3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1），
∵an＞0，∴an2=Sn+Sn-1（n≥2），
∴an-1 2=Sn-1+Sn-2(n≥2)，
两式相减，得an2-an-12 =Sn-Sn-2=an+an-1，
∴an-an-1=1（n＞3），
∵S12=a12=a13，且a1＞0，∴a1=1，
S22=(a1+a2)2=a13+a23，
∴（1+a2）2=1+a23，∴a23-a22-2a2=0，
由a2＞0，得a2=2，
∴an-an-1=1，n≥2，
故数列{an}为等差数列，通项公式为an=n．
（Ⅱ）bn=(1-class="stub"1

)2-a(1-class="stub"1

)=class="stub"1

+class="stub"a-2

+1-a，
令t=class="stub"1

，则bn=t2+(a-2)t+1-a，
设g（t）=t2+（a-2）t+1-a，
当class="stub"2-a

＞class="stub"3

时，即a＜class="stub"1

时，g（t）在（0，class="stub"3

]上为减函数，
且g(class="stub"1

) ＞g(1)，∴b1＜b2＜b3＜…
当class="stub"2-a

≤class="stub"3

时，即a≥class="stub"1

时，g(class="stub"1

) ≤g(1)，从而b2≤b1不合题意，
∴实数a的取值范围a＜class="stub"1

．
法二：
（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ）bn+1-bn=(class="stub"1

n+1

-class="stub"1

)(class="stub"1

n+1

+class="stub"1

+a-2)＞0，
∴class="stub"1

n+1

+class="stub"1

+a-2＜0，
即a＜2-class="stub"1

n+1

-class="stub"1

对任意n∈N*成立，
∴实数a的取值范围a＜class="stub"1

．

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已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn2=a13+a23+…+an3．（I）求证：数列{an}为等差数列，并求出通项公式；（II）设bn=（1-1an）2-a（1-1an），若bn+1＞bn对

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