首页 > 数列{bn}的首项b1=1，前n项和为Sn，点（n，Sn）、（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上，数列{an}满足bnan=2n．（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项

数列{bn}的首项b1=1，前n项和为Sn，点（n，Sn）、（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上，数列{an}满足bnan=2n．（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项

题目简介

数列{bn}的首项b1=1，前n项和为Sn，点（n，Sn）、（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上，数列{an}满足bnan=2n．（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项

题目详情

数列{bn}的首项b1=1，前n项和为Sn，点（n，Sn）、（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上，数列{an}满足
bn
an
=2n．
（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=（1-
1
n+1
）
1
an
，Rn=
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
+…+
1
cn
．试比较Rn与
5n
2n+1
的大小，并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：梅州一模

答案

（Ⅰ）证明：∵b1=1，∴S1=1
∴点（1，1）、（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上
∴a+b=1，16a+4b=10，解得a=class="stub"1
2
，b=class="stub"1
2
．
∴Sn=class="stub"1
2
n2+class="stub"1
2
n．则n≥2时，Sn-1=class="stub"1
2
（n-1）2+class="stub"1
2
（n-1）．
∴bn=Sn-Sn-1=class="stub"1
2
n2+class="stub"1
2
n-[class="stub"1
2
（n-1）2+class="stub"1
2
（n-1）]=n（n≥2）．
又b1=1也适合，所以bn=n（n∈N+）．则bn-bn-1=1．
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
又
bn
an
=2n ∴an=
bn
2n
=class="stub"n
2n
．
（Ⅱ）证明：∵cn=（1-class="stub"1
n+1
）class="stub"1
an
=class="stub"n
n+1
•
2n
n
=
2n
n+1
∴class="stub"1
cn
=class="stub"n+1
2n

∴Rn=class="stub"1
c1
+class="stub"1
c2
+class="stub"1
c3
+…+class="stub"1
cn
=class="stub"1+1
2
+class="stub"2+1
22
+class="stub"3+1
23
+…+class="stub"n+1
2n
①．
∴class="stub"1
2
Rn=class="stub"1+1
22
+class="stub"2+1
23
+class="stub"3+1
24
 +…+class="stub"n+1
2n+1
，②
两式相减得class="stub"1
2
Rn=class="stub"1+1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
 -class="stub"n+1
2n+1

∴Rn=3-class="stub"3+n
2n
，Rn-class="stub"5n
2n+1
=
(n+3)(2n-2n-1)
2n(2n+1)
．
所以只需要比较2n与2n+1的大小即可．
当n=1时，2n＜2n+1，所以Rn＜class="stub"5n
2n+1
，
当n=2时，2n＜2n+1，所以Rn＜class="stub"5n
2n+1
，
当n≥3时，2n=（1+1）n=1+n++n+1＞2n+1，所以Rn＞class="stub"5n
2n+1
．（12分）

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