首页 > 数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an}的通项公式；（Ⅲ）证明数列{an-cn}是等差数列

数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an}的通项公式；（Ⅲ）证明数列{an-cn}是等差数列

题目简介

数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an}的通项公式；（Ⅲ）证明数列{an-cn}是等差数列

题目详情

数列{an} 中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）求{an} 的通项公式；
（Ⅲ）证明数列{
an-c
n
}是等差数列．
题型：解答题难度：中档来源：杭州一模

答案

（Ⅰ）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，
所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．
故c=2；（5分）
（II）当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，an-an-1=（n-1）c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=
n(n-1)
2
c．
又a1=2，c=2，故an=2+n（n-1）=n2-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，
所以an=n2-n+2（n=1，2，）；（5分）
（Ⅲ）bn=
an-c
n
=n-1；bn+1=n．bn+1-bn=1，
∴数列{
an-c
n
}是等差数列．（5分）

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