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> 若数列{an}满足前n项之和Sn=2an-4(n∈N*),bn+1=an+2bn,且b1=2.(1)求证数列{bn2n}为等差数列;(2)求{bn}的前n项和Tn.-数学
若数列{an}满足前n项之和Sn=2an-4(n∈N*),bn+1=an+2bn,且b1=2.(1)求证数列{bn2n}为等差数列;(2)求{bn}的前n项和Tn.-数学
题目简介
若数列{an}满足前n项之和Sn=2an-4(n∈N*),bn+1=an+2bn,且b1=2.(1)求证数列{bn2n}为等差数列;(2)求{bn}的前n项和Tn.-数学
题目详情
若数列{a
n
}满足前n项之和S
n
=2a
n
-4(n∈N
*
),b
n+1
=a
n
+2b
n
,且b
1
=2.
(1)求证数列
{
b
n
2
n
}
为等差数列; (2)求{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)当n=1时,a1=S1=2a1-4
∴a1=4
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-4-2an-1+4
即an=2an-1
∴
a
n
a
n-1
=2
∴an=2n+1
bn+1=2n+1+2bn
∴
b
n+1
2
n+1
-
b
n
2
n
=1
又
b
1
2
1
=1
∴
b
n
2
n
=1+(n-1)•1=n
∴bn=n•2n(n∈N*)
(2)Tn=1×2+2×22+…+n•2n
2Tn=1×22+…+(n-1)•2n+n•2n+1
两式相减得 Tn=-2-22-…-2n+n•2n+1
=
-
2(1-
2
n
)
1-2
+n•
2
n+1
=(n-1)•2n+1+2(n∈N*).
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若数列{an}满足前n项之和Sn=2an-4(n∈N*),bn+1=an+2bn,且b1=2.(1)求证数列{bn2n}为等差数列;(2)求{bn}的前n项和Tn.-数学
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答案
∴a1=4
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-4-2an-1+4
即an=2an-1
∴
∴an=2n+1
bn+1=2n+1+2bn
∴
又
∴
∴bn=n•2n(n∈N*)
(2)Tn=1×2+2×22+…+n•2n
2Tn=1×22+…+(n-1)•2n+n•2n+1
两式相减得 Tn=-2-22-…-2n+n•2n+1
=-