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已知数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n≥2，n∈N*），且a3=39，（1）求a1，a2．（2）是否存在实数λ，使得数列{an+λ2n}为等差数列；若存在，求出λ的值．（3）令cn=an+

题目简介

已知数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n≥2，n∈N*），且a3=39，（1）求a1，a2．（2）是否存在实数λ，使得数列{an+λ2n}为等差数列；若存在，求出λ的值．（3）令cn=an+

题目详情

已知数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n≥2，n∈N*），且a3=39，
（1）求a1，a2．
（2）是否存在实数λ，使得数列{
an+λ
2n
}为等差数列；若存在，求出λ的值．
（3）令cn=
an+1
n+1
，若cn＞m对任意的n∈N*都成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由于数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n≥2，n∈N*），且a3=39，
则a3=2a2+23+1，a2=2a1+22+1，故a2=15，a1=5；
（2）若存在实数λ，使得数列{
an+λ
2n
}为等差数列，
则
a1+λ
21
，
a2+λ
22
，
a3+λ
23
也为等差数列，
故2×
a2+λ
22
=
a1+λ
21
+
a3+λ
23

解得λ=1，
由于
an+1+1
2n+1
-
an+1
2n
=
2an+2n+1+2
2n+1
-
an+1
2n
=1
所以数列{
an+1
2n
}为等差数列，首项为
a1+1
21
=3，
故当λ=1时，数列{
an+λ
2n
}为等差数列；
（3）由（2）知，
an+1
2n
=3+(n-1)•1=n+2
若令cn=
an+1
n+1
，则cn=class="stub"n+2
n+1
•2n
由于cn≥cn+1等价于class="stub"n+2
n+1
•2n≥class="stub"n+1+2
n+1+1
•2n+1=class="stub"n+3
n+2
•2n+1
即n2+4n+2=（n+2）2-2≤0无解，故恒有cn≥cn-1
若cn＞m对任意的n∈N*都成立，则必有
a1+1
1+1
=3=c1＞m
则实数m的取值范围为m＜3．

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