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已知数列{an}，{bn}满足a1=12，b2=-12，且对任意m，n∈N*，有am+n=am•an，bm+n=bm+bn．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和

题目简介

已知数列{an}，{bn}满足a1=12，b2=-12，且对任意m，n∈N*，有am+n=am•an，bm+n=bm+bn．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和

题目详情

已知数列{an}，{bn}满足a1=
1
2
，b2=-
1
2
，且对任意m，n∈N*，有am+n=am•an，bm+n=bm+bn．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn；
（3）若数列{cn}满足bn=
4cn+n
3cn+n
，试求{cn}的通项公式并判断：是否存在正整数M，使得对任意n∈N*，cn≤cM恒成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由已知，对任意m，n∈N*，
有am+n=am•an，bm+n=bm+bn．
取m=1，得an+1=a1an=class="stub"1
2
an，bn+1=b1+bn=-class="stub"1
2
+bn．
所以数列{an}，{bn}分别为等比，等差数列．
∴an=class="stub"1
2
•(class="stub"1
2
)n-1=(class="stub"1
2
)n
bn=-class="stub"1
2
+(n-1)(-class="stub"1
2
)=-class="stub"n
2
…（4分）
（2）Tn=(-class="stub"1
2
)(class="stub"1
2
)1+(-class="stub"2
2
)(class="stub"1
2
)2+(-class="stub"3
2
)(class="stub"1
2
)3+…+(-class="stub"n
2
)(class="stub"1
2
)n
class="stub"1
2
Tn=(-class="stub"1
2
)• (class="stub"1
2
) 2+(- class="stub"2
2
)•(class="stub"1
2
)3+…+(-class="stub"n
2
)•(class="stub"1
2
)n+1
两式相减，class="stub"1
2
Tn=-class="stub"1
22
-class="stub"1
2
[(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
2
)n]+class="stub"n
2
•(class="stub"1
2
)n+1
并化简得Tn=n×(class="stub"1
2
)n+1+(class="stub"1
2
)n-1．…（8分）
（3）由bn=
4cn+n
3cn+n
，
得cn=-
n2+2n
3n+8
．…（10分）
∵cn+1-cn=-
3n2+19n+24
(3n+8)(3n+11)
＜0．
∴数列{cn}为递减数列，cn的最大值为c1．
故存在M=1，使得对任意n∈N*，cn≤c1恒成立…

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