已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=Sn+sn-1(n≥2).(Ⅰ)求证:{Sn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记数列{1anan+1}的前n项和为Tn,若对任意

题目简介

已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=Sn+sn-1(n≥2).(Ⅰ)求证:{Sn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记数列{1anan+1}的前n项和为Tn,若对任意

题目详情

已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=
Sn
+
sn-1
(n≥2).
(Ⅰ)求证:{
Sn
}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:浙江模拟

答案

(I)∵an=
Sn
+
sn-1

sn-sn-1=
sn
+
sn-1

sn
-
sn-1
=1

∴数列{
sn
}是首项为1,公差为1的等差数列
sn
=1+(n-1)
=n
sn=n2
an=
sn
+
sn-1
=n+n-1=2n-1(n≥2)
当n=1时,a1=1也适合
∴an=2n-1
(II)∵class="stub"1
anan+1
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)

Tn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)
=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)

=class="stub"n
2n+1

∴Tn<class="stub"1
2

∵4Tn<a2-a恒成立
∴2≤a2-a,解得a≥2或a≤-1

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