首页 > 设z1是虚数，z2=z1+1z1是实数，且-1≤z2≤1（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω=1-z11+z1，求证：ω为纯虚数．-数学

设z1是虚数，z2=z1+1z1是实数，且-1≤z2≤1（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω=1-z11+z1，求证：ω为纯虚数．-数学

题目简介

设z1是虚数，z2=z1+1z1是实数，且-1≤z2≤1（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω=1-z11+z1，求证：ω为纯虚数．-数学

题目详情

设z1是虚数，z2=z1+
1
z1
是实数，且-1≤z2≤1
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
（2）若ω=
1-z1
1+z1
，求证：ω为纯虚数．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设z1=a+bi（a，b∈R，且b≠0），
则z2=z1+class="stub"1
z1
=a+bi+class="stub"1
a+bi
=(a+class="stub"a
a2+b2
)+(b-class="stub"b
a2+b2
)i
∵z2是实数，b≠0，
∴有a2+b2=1，即|z1|=1，
∴可得z2=2a，
由-1≤z2≤1，得-1≤2a≤1，
解得-class="stub"1
2
≤a≤class="stub"1
2
，
即z1的实部的取值范围是[-class="stub"1
2
，class="stub"1
2
]．
（2）ω=
1-z1
1+z1
=class="stub"1-a-bi
1+a+bi
=
1-a2-b2-2bi
(1+a)2+b2
=-class="stub"b
a+1
i
∵a∈[-class="stub"1
2
，class="stub"1
2
]，b≠0，
∴ω为纯虚数．

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