已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,试判断△ABC的形状并证明;(2)若m⊥p,边长c=2,∠

题目简介

已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,试判断△ABC的形状并证明;(2)若m⊥p,边长c=2,∠

题目详情

已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量
m
=(a,b),
n
=(sinB,sinA),
p
=(b-2,a-2).
(1)若
m
n
,试判断△ABC的形状并证明;
(2)若
m
p
,边长c=2,∠C=
π
3
,求△ABC的面积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)ABC为等腰三角形;
证明:∵
m
=(a,b),
n
=(sinB,sinA),
m
n

∴asinA=bsinB,
即a•class="stub"a
2R
=b•class="stub"b
2R
,其中R是△ABC外接圆半径,
∴a=b--------(5分)
∴△ABC为等腰三角形--------(6分)
(2)∵
p
=(b-2,a-2),由题意可知
m
p

∴a(b-2)+b(a-2)=0,
∴a+b=ab--------(8分)
由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab
即(ab)2-3ab-4=0,
∴ab=4或ab=-1(舍去)---------(10分)
∴S=class="stub"1
2
absinC=class="stub"1
2
×4×sinclass="stub"π
3
=
3
.----------(12分)

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