设f(x)=alnx+12x+32x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的极值.-数学

题目简介

设f(x)=alnx+12x+32x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的极值.-数学

题目详情

f(x)=alnx+
1
2x
+
3
2
x+1
,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ) 求a的值;
(Ⅱ) 求函数f(x)的极值.
题型:解答题难度:中档来源:重庆

答案

(Ⅰ) 求导函数可得f′(x)=class="stub"a
x
-class="stub"1
2x2
+class="stub"3
2

∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
∴f′(1)=0,∴a-class="stub"1
2
+class="stub"3
2
=0

∴a=-1;
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,f(x)=-lnx+class="stub"1
2x
+class="stub"3
2
x+1
(x>0)
f′(x)=class="stub"-1
x
-class="stub"1
2x2
+class="stub"3
2
=
(3x+1)(x-1)
2x2

令f′(x)=0,可得x=1或x=-class="stub"1
3
(舍去)
∵0<x<1时,f′(x)<0,函数递减;x>1时,f′(x)>0,函数递增
∴x=1时,函数f(x)取得极小值为3.

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