首页 > 设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-23．（1）求a，b，c，d的值；（2）若x1，x2∈[-1，1]时，求证：|f(x

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-23．（1）求a，b，c，d的值；（2）若x1，x2∈[-1，1]时，求证：|f(x

题目简介

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-23．（1）求a，b，c，d的值；（2）若x1，x2∈[-1，1]时，求证：|f(x

题目详情

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-
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（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x1，x2∈[-1，1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤
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3
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题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f（-x）=-f（x）．
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立．
∴b=0，d=0，即f（x）=ax3+cx．∴f′（x）=3ax2+c．
∵x=1时，f（x）取极小值-class="stub"2
3
．∴f′（1）=0且f（1）=-class="stub"2
3
，
即3a+c=0且a+c=-class="stub"2
3
．解得a=class="stub"1
3
，c=-1．（6分）
（2）证明：∵f′（x）=x2-1，由f′（x）=0，得x=±1．
当x∈（-∞，-1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=class="stub"2
3
，fmin（x）=f（1）=-class="stub"2
3
．
∴在[-1，1]上，|f（x）|≤class="stub"2
3
．
于是x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=class="stub"2
3
+class="stub"2
3
=class="stub"4
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．
故x1，x2∈[-1，1]时，|f（x1）-f（x2）|≤class="stub"4
3
．（12分）

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