已知点M(x1,f(x1))是函数f(x)=1x,x∈(0,+∞)图象C上的一点,记曲线C在点M处的切线为l.(1)求切线l的方程;(2)设l与x轴,y轴的交点分别为A、B,求△AOB周长的最小值.-

题目简介

已知点M(x1,f(x1))是函数f(x)=1x,x∈(0,+∞)图象C上的一点,记曲线C在点M处的切线为l.(1)求切线l的方程;(2)设l与x轴,y轴的交点分别为A、B,求△AOB周长的最小值.-

题目详情

已知点M(x1,f(x1))是函数f(x)=
1
x
,x∈(0,+∞)图象C上的一点,记曲线C在点M处的切线为l.
(1)求切线l的方程;
(2)设l与x轴,y轴的交点分别为A、B,求△AOB周长的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f′(x)=-class="stub"1
x2

∴k=f′(x1)=-class="stub"1
x21

∴切线方程为y-class="stub"1
x1
=-class="stub"1
x21
(x-x1),即y=-class="stub"1
x21
x+class="stub"2
x1

(2)在y=-class="stub"1
x21
x+class="stub"2
x1
中,
令y=0得x=2x1,∴A(2x1,0).
令x=0,得y=class="stub"2
x1
,∴B(0,class="stub"2
x1
)

∴△AOB的周长m=2x1+class="stub"2
x1
+
(2x1)2+(class="stub"2
x1
)
2

∴m=2(x1+class="stub"1
x1
+
x21
+class="stub"1
x21
)
,x1∈(0,+∞).
令t=x1+class="stub"1
x1
,∵x1∈(0,+∞),∴t≥2.
∴当t=2,即x1=1时,m最小=2(2+
2
).
故△AOB周长的最小值是2(2+
2
).

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