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已知函数f（x）=x（x-2）2+1，x∈R（1）求函数f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值．-数学

题目简介

已知函数f（x）=x（x-2）2+1，x∈R（1）求函数f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值．-数学

题目详情

已知函数f（x）=x（x-2）2+1，x∈R
（1）求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）=x3-4x2+4x+1
∵f'（x）=3x2-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴函数f（x）的单调递增区间为(-∞，class="stub"2
3
)和（2，+∞），f（x）的单调递减区间为(class="stub"2
3
，2)，
所以x=class="stub"2
3
为f（x）的极大值点，极大值为f(class="stub"2
3
)=class="stub"59
27
x=2为f（x）的极小值点，极小值为f（2）=1．（7分）
（2）①当t+2＜class="stub"2
3
即t＜-class="stub"4
3
时，函数f（x）在区间[t，t+2]上递增，
∴f（x）max=f（t+2）=t3+2t2+1；
②当t≤class="stub"2
3
≤t+2即-class="stub"4
3
≤t≤-2时，
函数f（x）在区间[t，class="stub"2
3
]上递增，在区间[class="stub"2
3
，t+2]上递减，
∴f(x)max=f(class="stub"2
3
)=class="stub"59
27
；
③当t＞class="stub"2
3
时，f（x）max=max{f（t），f（t+2）}，
令f（t）≥f（t+2），则t（t-2）2≥（t+2）t2，t（6t-4）≤0，得0≤t≤class="stub"2
3
，
所以当t＞class="stub"2
3
，f（t）＜f（t+2），f（x）max=f（t+2）=t3+2t2+1，
所以f(x)max=
t3+2t2+1，t＜-class="stub"4
3
或t＞class="stub"2
3
class="stub"59
27
-class="stub"4
3
≤t≤class="stub"2
3
．

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