已知直线y=-2x-23与曲线f(x)=13x3-bx相切.(1)求b的值(2)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2.求:①m的取值范围②比较x1x2+9与3(x1+x2)的大小

题目简介

已知直线y=-2x-23与曲线f(x)=13x3-bx相切.(1)求b的值(2)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2.求:①m的取值范围②比较x1x2+9与3(x1+x2)的大小

题目详情

已知直线y=-2x-
2
3
与曲线f(x)=
1
3
x3-bx
相切.
(1)求b的值
(2)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2
求:①m的取值范围     ②比较x1x2+9与3(x1+x2)的大小.
题型:解答题难度:中档来源:江西模拟

答案

(1)∵f(x)=class="stub"1
3
x3-bx
,∴f'(x)=x2-b
设切点为(x0,y0),依题意得
class="stub"1
3
x30
-bx0=y0
y0=-2x0-class="stub"2
3
x20
-b=-2

解得:b=3
(2)设h(x)=f(x)-x2-m=class="stub"1
3
x3-x2-3x-m

则h'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
1令h'(x)=023,得x=-14或x=35在(0,3)6上,h'(x)<07,
故h(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上,h'(x)>0,
故h(x)在(3,+∞)上单调递增,
若使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,
则需
h(0)=-m>0
h(3)=-9-m<0
,∴-9<m<0
此时存在x>3时,h(x)>0,例如当x=5时,h=class="stub"125
3
-25=15-m=class="stub"5
3
-m>0

∴①所求m的范围是:-9<m<0.
②由①知,方程f(x)=x2+m2在(0,+∞)3上有两个解x1,x2,
满足0<x1<3,x2>3,x1x2+9-3(x1+x2)=(3-x1)(3-x2)<0,
x1x2+9<3(x1+x2).

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