首页 > 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f（x）的解析式为：f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]②f（x）的极值点

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f（x）的解析式为：f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]②f（x）的极值点

题目简介

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f（x）的解析式为：f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]②f（x）的极值点

题目详情

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
①f（x）的解析式为：f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]
②f（x）的极值点有且仅有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和等于零．
其中正确的命题是______．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
3+2a+b=-1
3-2a+b=-1
，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
①可见f（x）=x3-4x，因此①正确；
②令f′（x）=0，得x=±
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．因此②不正确；
所以f（x）在[-
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，
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]内递减，
且f（x）的极大值为f（-
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）=
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，极小值为f（
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）=-
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，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=
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，最小值为m=-
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，则M+m=0，因此③正确．
故答案为：①③．

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