已知f(x)=x3-12x2+bx+c(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈(-1,2),f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.-数学

题目简介

已知f(x)=x3-12x2+bx+c(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈(-1,2),f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.-数学

题目详情

已知f(x)=x3-
1
2
x2+bx+c

(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围;
(2)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈(-1,2),f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:汕头模拟

答案

(1)由f(x)=x3-class="stub"1
2
x2+bx+c

∴f'(x)=3x2-x+b(2分)
由己知f'(x)=0有实数解,∴△=1-12b≥0,故b≤class="stub"1
12
(3分)
(2)∵f(x)在x=1时取得极值
∴x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一根为x0
x0+1=class="stub"1
3
x0×1=class="stub"b
3
,∴
x0=-class="stub"2
3
b=-2
(2分)
f(x)=x3-class="stub"1
2
x2-2x+c
,f'(x)=3x2-x-2
x∈(-1,-class="stub"2
3
)
时,f'(x)>0;
x∈(-class="stub"2
3
,1)
时,f'(x)<0;
当x∈(1,2)时,f'(x)>0
∴当x=-class="stub"2
3
时,f(x)有极大值class="stub"22
27
+c

f(-1)=class="stub"1
2
+c
,f(2)=2+c,
即当x∈[-1,2]时,f(x)的量大值为f(2)=2+c(3分)
∵对x∈(-1,2)时,f(x)<c2恒成立,∴c2≥2+c,∴c≤-1或c≥2(3分)
故c的取值范围是:(-∞,-1]∪[2,+∞)(1分)

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