已知函数f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],,其中e是自然常数,其近似值为2.71828,a∈R。(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+;(3)

题目简介

已知函数f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],,其中e是自然常数,其近似值为2.71828,a∈R。(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+;(3)

题目详情

已知函数f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],,其中e是自然常数,其近似值为2.71828,a∈R。
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:偏难来源:0117 期末题

答案

解:(1)f(x)=ax-lnx,
∴当x∈(0,1)时,,此时f(x)单调递减;
当x∈(1,e)时,,此时f(x)单调递增,
∴f(x)的极小值为f(1)=1.
(2)f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1, ∴f(x)>0,

当0<x<e时,,h(x)在(0,e]上单调递增,

∴在(1)的条件下,
(3)假设存在实数,使f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,
①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,(舍去),所以,此时f(x)无最小值;
②当时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,,满足条件;
③当时,f(x)在(0,e]上单调递减,(舍去),
所以,此时f(x)无最小值;
综上,存在实数,使得当x∈(0,e]时,f(x)有最小值3。

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