已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求函数g(x)=f(x)•f'(x)的最小值及相应的x值的集合;(2)若f(x)=2f′(x),求tan(x+π4)

题目简介

已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求函数g(x)=f(x)•f'(x)的最小值及相应的x值的集合;(2)若f(x)=2f′(x),求tan(x+π4)

题目详情

已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)求函数g(x)=f(x)•f'(x)的最小值及相应的x值的集合;
(2)若f(x)=2f′(x),求tan( x+
π
4
 )
的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=sinx+cosx,故f'(x)=cosx-sinx,
∴g(x)=f(x)•f'(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=cos2x-sin2x=cos2x,
∴当2x=-π+2kπ(k∈Z),即x=-class="stub"π
2
+kπ ( k∈Z )
时,g(x)取得最小值-1,
相应的x值的集合为{ x|x=-class="stub"π
2
+kπ ,  k∈Z }
.      
(2)由f(x)=2f′(x),得sinx+cosx=2cosx-2sinx,
∴cosx=3sinx,故tanx=class="stub"1
3

tan( x+class="stub"π
4
 )=
tanx+tanclass="stub"π
4
1-tanxtanclass="stub"π
4
=
1+class="stub"1
3
1-class="stub"1
3
=2

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