已知函数f(x)=13x3-(2a+1)x2+3a(a+2)x+1.a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)当函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点时

题目简介

已知函数f(x)=13x3-(2a+1)x2+3a(a+2)x+1.a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)当函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点时

题目详情

已知函数f(x)=
1
3
x3-(2a+1)x2+3a(a+2)x+1.a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)当函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点时,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当a=0时,f(x)=class="stub"1
3
x3-x2+1

∴f(3)=1,
∵f'(x)=x2-2x-----------------------------(2分)
∴曲线在点(3,1)处的切线的斜率k=f'(3)=3
∴所求的切线方程为y-1=3(x-3),即y=3x-8----------------(4分)
(2)∵f'(x)=x2-2(2a+1)x+3a(a+2)=(x-3a)(x-a-2)
∴x1=3a,x2=a+2-----------------------------------------------(6分)
①当x1=x2时,3a=a+2,解得a=1,这时x1=x2=3,函数y=f'(x)在(0,4)上有唯一的零点,故a=1为所求;(7分)
②当x1>x2时,即3a>a+2⇒a>1,这时x1>x2>3,
又函数y=f'(x)在(0,4)上有唯一的零点,
3<x2<4
x1≥4.
3<a+2<4
3a≥4.
⇒class="stub"4
3
≤a<2
,-----------------------(10分)
③当x1<x2时,即a<1,这时x1<x2<3
又函数y=f'(x)在(0,4)上有唯一的零点,
x1≤0
0<x2<3.
3a≤0
0<a+2<3.
⇒-2<a≤0
------------------------(13分)
综上得当函数y=f'(x)在(0,4)上有唯一的零点时,-2<a≤0或class="stub"4
3
≤a<2
或a=1.----------------(14分)

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