已知f(x)=ax-lnx,a∈R(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;(Ⅱ)若f(x)在x=1处有极值,求f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)在区间(

题目简介

已知f(x)=ax-lnx,a∈R(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;(Ⅱ)若f(x)在x=1处有极值,求f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)在区间(

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已知f(x)=ax-lnx,a∈R
(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)在x=1处有极值,求f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)当a=2时,f(x)=2x-lnx,函数的定义域为(0,+∞)
求导函数可得:f′(x)=2-class="stub"1
x

∴f′(1)=1,f(1)=2
∴曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0;
(II)∵f(x)在x=1处有极值,∴f′(1)=0
∵f′(x)=a-class="stub"1
x

∴a-1=0,∴a=1
∴f′(x)=1-class="stub"1
x

令f′(x)>0,可得x<0或x>1
∵x>0,∴x>1
∴f(x)的单调递增区间为(1,+∞);
(III)假设存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3,
①当a≤0时,∵x∈(0,e],∴f′(x)<0,∴f(x)在区间(0,e]上单调递减
∴f(x)min=f(e)=ae-1=3,∴a=class="stub"4
e
(舍去);
②当0<class="stub"1
a
<e
时,f(x)在区间(0,class="stub"1
a
)上单调递减,在(class="stub"1
a
,e]上单调递增
∴f(x)min=f(class="stub"1
a
)=1+lna=3,∴a=e3,满足条件;
③当class="stub"1
a
≥e
时,∵x∈(0,e],∴f′(x)<0,∴f(x)在区间(0,e]上单调递减
∴f(x)min=f(e)=ae-1=3,∴a=class="stub"4
e
(舍去),
综上所述,存在实数a=class="stub"4
e
,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3.

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