已知f(x)=ae-x+cosx-x(0<x<1),(1)若对任意的x∈(0,1),f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围;(2)求证:e-x+sinx<1+(0<x<1)。-高三数学

题目简介

已知f(x)=ae-x+cosx-x(0<x<1),(1)若对任意的x∈(0,1),f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围;(2)求证:e-x+sinx<1+(0<x<1)。-高三数学

题目详情

已知f(x)=ae-x+cosx-x(0<x<1),
(1)若对任意的x∈(0,1),f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)求证:e-x+sinx<1+(0<x<1)。
题型:解答题难度:中档来源:模拟题

答案

解:(1)由f(x)<0得a<(x-cosx)·ex,
记g(x)=(x-cosx)·ex,
则g′(x)=(1+sinx-cosx+x)·ex,
因为0<x<1,
所以sinx>1,1-cosx>0,ex>0,
所以g′(x)>0,则g(x)在(0,1)上为增函数,
所以-1<g(x)<(1-cos1)·e,
故a≤-1。
(2)构造函数,且h(0)=0,
则h′(x)= -e-x+cosx-x,
由(1)知当a=-1时f(x)=-e-x+cosx-x<0(0<x<1),
所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)<h(0)=0,
所以

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