如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说

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如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长；
（3）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由。

题型：解答题难度：中档来源：月考题

答案

解：（1）BM+CN=MN 证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连结DM1 Rt△BDM≌Rt△CDM1 ∴∠M1DN=∠MDN=60° ∴△MDN≌△M1DN ∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB
（2）利用（1）中的结论得出： △AMN的周长=AM+MN+AN =（AM+BM）+（NC+AN） =2+2=4。
（3）CN-BM=MN 证明：如图，在CN上截取，使CM1=BM，连结DM1 ∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30° ∴∠DBM=∠DCM1=90° ∵BD=CD ∴Rt△BDM≌Rt△CDM1 ∴∠MDB=∠M1DC　　 DM=DM1 ∵∠BDM+∠BDN=60° ∴∠CDM1+∠BDN=60° ∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60° ∴∠M1DN=∠MDN ∵AD=AD ∴△MDN≌△M1DN ∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB

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如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说

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